Wykaż, że √2 jest liczbą niewymierną

Pomoc w przygotowaniu do matury z matematyki. Arkusze maturalne, zadania, odpowiedzi, klucze matury matematycznej. Wspólna nauka
Girion
Posty: 700
Rejestracja: 17 maja 2011, o 20:02

Wykaż, że √2 jest liczbą niewymierną

Post autor: Girion » 4 paź 2014, o 19:34

Przypuśćmy, że √2 jest liczbą wymierną, więc √2 = p/q

Więc 2 = p2/q2

2q2=p2

I tutaj napisali, że w rozkładzie p do kwadratu, jest parzysta liczba dwójek - a w rozkładzie 2q2 - nieparzysta liczba dwójek - ja się pytam, jakich dwójek? O co w tym chodzi? Może ktoś wyjaśnić, na czym to polega? do tego momentu rozumiem:
2q2=p2

randomlogin
Posty: 3779
Rejestracja: 24 kwie 2010, o 12:11

Re: Wykaż, że √2 jest liczbą niewymierną

Post autor: randomlogin » 4 paź 2014, o 20:19

Jakich dwojek? Dowolnych dwojek. Zakladasz, ze istnieja takie calkowite p i q, ze p/q = v2.
Teraz p i q, jako calkowite, mozesz rozlozyc na czynniki pierwsze. Rozklad na czynniki ma to do siebie, ze jest funkcja - tylko jedna konkretna liczba rozklada sie w konkretny sposob. Tak samo konkretny rozklad jest przypisany (czytaj: daje po pomnozeniu) konkretna liczbe. Czyli dwa rozne rozklady to na pewno dwie rozne liczby, zgodzisz sie chyba?

No i teraz p i q rozkladasz na czynniki pierwsze. Powiedzmy ze w p n razy wystepuje 2, a w q m razy.

Podnosisz do kwadratu, tak jak tam napisales, otrzymujesz p^2 i q^2. I teraz je rozkladasz na czynniki pierwsze. Ale juz rozlozyles p i q, wiec masz prosciej - kazdy czynnik wystapi po prostu dwa razy czesciej, w koncu podnoszenie do kwadratu tym wlasnie jest. Czyli w p 2 wystawila n razy, w p^2 bedzie 2n razy. Analogiczne w q - m razy, w q^2 - 2m razy.

2n, 2m. widac pewien schemat, nie? Przy podnoszeniu do kwadratu kazdy czynnik wystepuje parzysta liczbe razy. W tym 2 - takze parzysta.

A wczesniej uznalismy, ze jesli istnieje takie p i q nalezace do C, ze v2 = p/q, to 2q^2 = p^2. Tylko w rozkladzie na czynniki pierwsze lewej strony masz nieparzysta liczbe dwojek (parzysta w kwadracie, i jeszcze jedna przed nim), a prawej parzysta (w kwadracie). A gdyby byla to ta sama liczba, to ich rozklad bylby identyczny.

Czyli nie wprost, przez sprzecznosc, doszlismy do wniosku ze teza nie mzoe byc prawdziwa. QED. [strasznie duzo pisania jak na taka [mod], ale mam nadzieje, ze zrozumiale. Zreszta widzac przy okazji, ze to samo odnosi sie do pierwiastka kwadratowego kazdej liczby pierwszej lub takiej w ktorej rozkladzie jakas liczba wystepuje nieparzysta ilosc razy - co jest zreszta naturalne, pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest generalnie albo naturalny, albo niewymierny]

ODPOWIEDZ
  • Podobne tematy
    Odpowiedzi
    Odsłony
    Ostatni post