Kinematyka - zadania

[Olafek]

W pewnej chwili na prostym odcinku drogi znajdują się dwa motocykle w odległości d od siebie. Jeden z nich porusza się ze stałą prędkością v₁, w kierunku północnym. Drugi, który poruszał się początkowo z prędkością v₂ w kierunku południowym, zaczyna hamować z przyspieszeniem o wartości a i zatrzymuje się, by natychmiast zawrócić. Po wykonaniu manewru ponownie porusza się z przyspieszeniem o wartości a. Jaki związek muszą spełniać wielkości d,a,v₁,v₂, aby doszło do spotkania motocyklistów?

Jak dla mnie to zadanie jest chore. Najpierw jeden jedzie na północ, drugi na południe - ok. Ale potem pierwszy jedzie ze stałą prędkością na północ, a drugi na północ z przyspieszeniem, więc przecież nie ma znaczenia jakie mają wartości te wszystkie parametry, bo ten drugi i tak go dogoni! Czy nie mam racji?

W odpowiedziach jest (V1+V2)²gt= 2ad. Na początku liczyłem to za pomocą równań ruchu i powstało mi równanie kwadratowe, gdzie delta0 dla (V1+V2)² + 2ad0 co zachodzi zawsze dla dodatnich wartości parametrów (co wynika z zadania). Nie ogarniam co tu może być źle.

edit: Chyba że może chodzi o to, że ten zwalniająco-przyspieszający jest bardziej na północ i chodzi o to, żeby nie zdążył zawrócić nim ten drugi go nie minie? Mogliby to jakoś zaznaczyć w zadaniu a nie.

[Adax82]

Olafek,
Zadanie wymaga dwóch oddzielnych rozwiązań, co wynika z niejednoznaczności co do ich wzajemnego położenia w odległości d:

1. Pierwszy porusza się w kierunku północnym ) oś OY w kierunku dodatnim ) i jego droga początkowa ( względem przyjętego układu współrzędnych ) wynosi So = d. Drugi w tym czasie zaczyna ruch z początku układu współrzędnych, jedzie na południe, czyli w kierunku ujemnym osi OY i jego droga początkowa wynosi zero. Ruch zaczyna z prędkościa początkową v2 i opóźnieniem tego ruchu wynoszącym a, po ułamku zatrzymania się zmienia zwrot jazdy i z przyspieszeniem a jedzie na północ ( goniąc Pierwszego ).
2. Przypadek drugi różni się od pierwszego tylko tym, że droga początkowa Pierwszego wynosi zero, a droga początkowa Drugiego wynosi d.
3. Koniec końców w obu przypadkach czas ruchu będzie jednakowy i nastąpi w momencie spotkania, droga wskazana na osi OY będzie też taka sama ( mimo, że będzie w rzeczywistości róznica w przebytej drodze ).
4. Równania ruchu dla I przypadku:
S1 = So + v1*t = d + v1*t
S2 = So – v2*t + a*t^2/2 = – v2*t + a*t^2/2 ( So = 0 )
Po rozwiązaniu powyższego układu równań oraz przyjmując, że S1 = S2 otrzymamy warunek: ( v1 + v2 )^2 jest większe równe 2*a*d
5. Równania ruchu dla przypadku II:
S1 = v1*t
S2 = So – v2*t + a*t^2/2 = d – v2*t + a*t^2/2 ( bo So = d )
Po rozwiązaniu powyższego układu równań oraz przyjmując, że S1 = S2 otrzymamy warunek: ( v1 + v2 )^2 jest większe równe 2*a*d
Otrzymalismy jednakowe rozwiązania dla obu przypadków: ( v1 + v2 )^2 jest większe równe 2*a*d

p.s. . jakiś rysunek dałbyś radę popełnić?

[Olafek]

S1 = So + v1*t = d + v1*t
S2 = So – v2*t + a*t^2/2 = – v2*t + a*t^2/2 ( So = 0 )
Po rozwiązaniu powyższego układu równań oraz przyjmując, że S1 = S2 otrzymamy warunek: ( v1 + v2 )^2 jest większe równe 2*a*d

Jeżeli chodzi ci o warunek delta0 to mi wychodzi (v1+v2)^2-2ad i to jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem bo jak już pisałem jeżeli ten drugi jedzie z przyspieszeniem to niezależnie od tego przyspieszenia i odległości kiedyś tego pierwszego dogoni.

Ogólnie zadanie umiem rozwiązać tylko chodzi o to, że ten pierwszy przypadek jest wg mnie sprzeczny w sensie tożsamościowy.

[Adax82]

Olafek,
Nie ma tu żadnej sprzeczności: zobacz na rysunek i opis ruchu.

[Olafek]

Dla pierwszego przypadku wyszło ci dokładnie takie samo równanie co mi. I proszę wychodząc z niego wykaż, że (V1+V2)^22ad bo mi wychodzi co innego.

[Adax82]

Olafek,
.znowu zdobywasz punkty za bystrość, wnikliwość i krytyczne podejście do jakiegoś rozwiązania - i tak trzymaj!, ale do rzeczy:
Jeśli już mamy :
V1t = -d – V2t + at^2/2 z pierwszego równia oraz:
V1t = d – V2t + at^2/2 z drugiego równania
to badamy obie funkcje.
-d – V2t – V1t + at^2/2 = 0 pierwsza funkcja
d – V2t – V1t + at^2/2 = 0 druga funkcja
Są to równania drugiego stopnia względem niewiadomej „t”
Wyliczamy delty tych równań:
Delta1 = ( V1 + V2 )^2 + 4*a*0,5*d
Delta1 jest większa równa zero dla ( V1 + V2 )^2gt= -4*a*0,5
Delta2 = ( V1 + V2 )^2 - 4*a*0,5*d
Delta2 jest większa równa zero dla ( V1 + V2 )^2gt= 4*a*0,5

.no i wyszło na moje tak jak to podejrzewałem od początku. Od razu napisałem, że mamy tu dwa różne przypadki: czy Pierwszy zaczyna od drogi początkowej równej 0, a Drugi zaczyna od drogi początkowej równej d, lub też, czy Pierwszy zaczyna od drogi początkowej równej d, a drugi zaczyna od drogi początkowej równej 0.
Ale spoko, miałbym to czy owo do powiedzenia Autorowi zadania.

[Olafek]

Delta1 jest większa równa zero dla ( V1 + V2 )^2gt= -4*a*0,5
.no i wyszło na moje tak jak to podejrzewałem od początku.

Po pierwsze: nie musisz się tak rozpisywać bo szkoda Twojego cennego czasu Bo jak widać, pytałem tylko o ten fragment.
I jak widać: nie wyszło na Twoje bo pisałeś, że w obu przypadkach wychodzi (V1+V2)^22ad a tu tak nie wychodzi, tylko wychodzi warunek, który jest tożsamościowy. I tutaj leży problem, nie w tym, jak to rozwiązać. Chodzi o to, że ten przypadek nie ma sensu w znaczeniu takim, że niezależnie od v1,v2,a,d ten przypadek zawsze jest spełniony, tzn. ma sens, ale ułożenie zadania dla tego przypadku jest bez sensu, stąd wniosek, że autorom chodziło o przypadek drugi.

Właściwie, to gdyby już nawet rozpatrzyć te dwa przypadki i podać dla nich wspólną odpowiedź, to na pewno nie będzie to przytaczany już warunek. Bo pytanie brzmi jaki warunek muszą spełniać wielkości więc odpowiedź powinna brzmieć: nie muszą spełniać żadnego warunku, ponieważ dla jednego z przypadków warunek będzie spełniony dla każdego a,d,v1,v2. A ma być spełniony jeden lub drugi.

[Adax82]

Olafek,
No cóż, nie mogę zgodzić się z pewnymi Twoimi stwierdzeniami:

I jak widać: nie wyszło na Twoje bo pisałeś, że w obu przypadkach wychodzi (V1+V2)^22ad .

Wyszło na moje, bo ostatecznie poprawiłem swoją odpowiedź odnoszącą się do dwóch różnych przypadków, ale zauważyłem to już na samym początku.

.ale ułożenie zadania dla tego przypadku jest bez sensu, stąd wniosek, że autorom chodziło o przypadek drugi.

Mnie na prawdę nie interesuje o co chodziło autorowi zadania: czy rozpatrywanie przypadku pierwszego czy drugiego. Zadanie winno być ułożone w sposób jednoznaczny. I tyle.

nie musisz się tak rozpisywać bo szkoda Twojego cennego czasu

Ja się rozpisuję dlatego, że moje odpowiedzi czytane są przez Ciebie oraz setki innych osób, które także mogłyby chcieć zaznajomić się z tematem i niekoniecznie biegłe są w tym temacie. Mój czas jest oczywiście cenny, ale na potrzeby tego forum w możliwie nieograniczonym zakresie

.ale ułożenie zadania dla tego przypadku jest bez sensu, stąd wniosek.

Zadanie ułożone jest z sensem, jeśli rozpatrzymy dwa odrębne przypadki. Jeśli jednak Autor zadania wybrał tylko jeden z dwóch możliwych przypadków - to zadanie rzeczywiście jest bez sensu".

Właściwie, to gdyby już nawet rozpatrzyć te dwa przypadki i podać dla nich wspólną odpowiedź, to na pewno nie będzie to przytaczany już warunek.

Nie ma tu jednej wspólnej odpowiedzi. Dana odpowiedź zależna jest od początkowych równań ruchu. Mamy tu dwa (układy) równań ruchu, to musimy mieć też dwie różne odpowiedzi.