Czas połowicznego rozpadu. Dlaczego te proporcje "nie działają"?

[Liriell]

Mam takie zadanie z Witowskiego:

Prowadzono obserwacje dwóch radionuklidów X i Y. Obserwacja radionuklidu X trwała 30 dni i po tym czasie pozostało 12,5% jego pierwotnej masy. Obserwacja Y trwała 44 dni i po tym czasie rozpadło się 93,75% jego pierwotnej masy. Oblicz czas połowicznego rozpadu dla każdego z nich.

No i rozwiązałam to zadanie źle, bo ułożyłam takie proporcje:
X
Skoro po 30 dniach pozostało 12,5%
to
po x dniach zostanie 50%

x = 30*50:12,5
x= 120
Czyli po 120 dniach będzie 50%. Więc to moim zdaniem jest ten czas. W drugim przykładzie zrobiłam to samo.
Wiem, że mogłam łopatologiczne sobie to rozpisać i dojść do tego, że okres połowicznego rozpadu dla X jest równy 10 dni (prawidłowa odpowiedź) - wiem już jak to prawidłowo obliczyć. Ale dlaczego ta proporcja, którą ułożyłam nie działa?

[Nitrogenium32]

Najłatwiej trzymać się wzoru: N(t) / N₀ = (1/2)^(t/T), gdzie: N(t) - ilość substancji pozostała po czasie t, N₀ - początkowa ilość substancji, T - czas połowicznego rozpadu, a następnie z równania potęgowego obliczyć, ile się równa iloraz t/T. Takim sposobem bez problemu można wyliczyć, że w pierwszym przypadku T = 10 dni, a w drugim T = 11 dni.

Twoja proporcja byłaby dobra, gdyby była to nieskomplikowana zależność. Jednak wtedy mielibyśmy i tak do czynienia z proporcjonalnością odwrotną, a nie prostą (jak założyłaś), więc wyglądałoby to tak:
30 dni - 12,5%
x dni - 50%
-
x = (30 dni x 12,5%)/50% = 7,5 dnia

Proporcja, którą założyłaś, nie ma najmniejszego sensu fizycznego, ponieważ jeśli po 30 dniach zostaje 12,5% substancji, to 50% tej substancji pozostanie po czasie krótszym niż 30 dni, a nie dłuższym. To tak jak z klasycznym przykładem z matematyki:

Aby wykonać pewną pracę w ciągu 10 godzin, potrzeba 2 pracowników. Ilu pracowników potrzeba, aby wykonać tą pracę w ciągu 4 godzin?

Odpowiedź brzmi: 5 pracowników. Gdyby założyło się proporcję prostą, z obliczeń wynikałoby, że w ciągu 4 godzin tę pracę zrobi 0,8 człowieka, a to jest zupełnie bez sensu.

Wracając do problemu - nie można zastosować takiej nieskomplikowanej proporcji, ponieważ we wzorze występuje wykładnik potęgi, w którym właśnie mamy czas połowicznego rozpadu. Nie może być to uwzględnione w takiej proporcji, więc taki sposób rozwiązania nie działa.

[Liriell]

Hmmm faktycznie ten wynik 120 jest nielogiczny. Jeny, nawet nie zwróciłam na to uwagi. Oki, dziękuję.